Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme ::

Dynamische Systeme

• Bisher hatten wir nicht zeitabhängige und lineare Systeme betrachtet

• Hier werden zeitabhängige Systeme betrachtet (aber noch linear)

  • Frequenzfilter
  • Integrator
  • Differenzierer (Ableitung)

Transformation einer veränderlichen Variable x in eine Zeitvariable x ermöglicht das Lösen von Gleichungssystemen und Differentialgleichungen.

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Passive dynamische Systeme

Passive dynamische Systeme

• Wir benötigen reaktive Bauelemente: Kapazitäten und Induktivitäten

Rost et al. Die Verwendung von Kapazitäten führt auf Frequenzfilter mit bestimmten Filtercharakteristiken. Ein zeitabhängiges Signal besitzt eine Frequenz (oder Frequenzspektrum). Oben: Komplexer Spannungsteiler, Unten: Filtercharakteristiken idealer Frequenzfilter

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Passive dynamische Systeme

Passive dynamische Systeme

$${g{{\left(\omega\right)}}}=\frac{{U}_{{a}}}{{U}_{{e}}}=\frac{{Z}_{{2}}}{{{Z}_{{1}}+{Z}_{{2}}}}$$

• Die Funktion g(ω) heißt Übertragungsfunktion; sie kann in Betrag und Phase zerlegt werden.

• Den Betrag der Übertragungsfunktion nennt man den Amplitudengang und die Phase den Phasengang.

• Der Begriff Frequenzgang umfasst Amplituden- und Phasengang eines linearen Systems.

• Alle Größen sind hier komplexe Zahlen!

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Aktive Filterschaltungen

Aktive Filterschaltungen

https://www.electronics-tutorials.ws/de/filtern/aktiver-tiefpassfilter.html

Man kann nun die passiven Tief-. Hoch- und Bandpassschaltungen in die Funktionsblöcke eines Operationsverstärkers integrieren und man erhält aktive Filter (hier Tiefpass).

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Integrator

Der Integrator

• Wir betrachten in diesem Kurs keine zeitabhängigen Signale (an sich), sondern zunächst nur stationäre Variablen

• Aber der aktive Tiefpass führt uns auf eine sehr wichtige analoge Berechnungsschaltung: Die Berechnung des bestimmten Integrals!

$${f{{\left({x}\right)}}}:{x}\to{y}\\ {y}={x}_{{0}}+{\int_{{{a}}}^{{{b}}}}{x}{\left.{d}{x}\right.}\\ \Leftrightarrow\\ {U}_{{a}}={U}_{{0}}-\frac{{1}}{{{R}{C}}}{\int_{{{t}_{{0}}}}^{{{t}_{{1}}}}}{U}_{{e}}{\left.{d}{t}\right.}$$

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Integrator

Der Integrator

Ross et al. Integrator abgeleitet aus dem aktiven Tiefpassfilter und dem invertierenden Verstärker.

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Integrator

opampint1.txt

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Integrator

Der Integrator

• man benötigt für Integration in einem bestimmten Zeitintervall eine Startschaltung (Initial Condition), die i.A. mit (elektronischen) Schaltern realisiert wird.

Ulmann, 2013 (Links) Integrator mit OpAmp und Schaltern für die zurücksetzung/Initialisierung mit der Startbedingung e₀ (Rechts) Symbol Analogrechner mit Set und Reset Kontrolleingängen

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Differenzierer

Der Differenzierer

• Das Gegenstück zum Integrator bildet die zeitliche Ableitung (Gradient) eines (zeitabhängigen) Signals x(t)

• Er entspricht einem Hochpassfilter (hohe Frequenzen passieren, tiefe nicht)

• Es müssen nur Widerstand und Kondensator vertauscht werden da die Diefferenzeirung die inverse Funktion des Integrals ist.

$${f{{\left({x}\right)}}}:{x}\to{y}\\ {y}=\frac{{{\left.{d}{x}\right.}{\left({v}\right)}}}{{{d}{v}}}\\ \Leftrightarrow\\ {U}_{{a}}=-{R}{C}\frac{{{d}{U}_{{e}}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}$$

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Differenzierer

Der Differenzierer

Siegel et al., 2018 Invertierender Differenzierer mit Eingangsruhestromkompensation (TB+, optional).

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Differenzierer

opampdiff1.txt

Stefan Bosse - ADS - Modul C Dynamische Systeme :: Der Differenzierer

opampintdiff1.txt