Elektronik für Informatiker

Eine Einführung in Analoge und Digitale Systeme für Informatiker mit Elektronikgrundlagen und Signalverarbeitung

Prof. Dr. Stefan Bosse

Universität Koblenz - Praktische Informatik

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker ::

Der Operationsverstärker

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Das Mathematische Modell

Das Mathematische Modell

Der Operationsverstärker ist ein Differenzverstärker. D.h. er multipliziert eine Differenz der Spannungen zweier Eingänge die am Ausgang abgegriffen werden kann.

${y}={\left({x}_{{1}}-{x}_{{2}}\right)}\cdot{k}\Leftrightarrow\\ {U}_{\text{a}}={\left({U}_{\text{+}}-{U}_{\text{-}}\right)}\cdot{V}_{{0}}={U}_{{d}}\cdot{V}_{{0}}$

Schaltsymbol

Dabei ist V₀ die sog. Leerlaufverstärkung des Differenzverstärkers ohne weitere Beschaltung. Der mathematische (ganz ideale) OpAmp hat V₀ → ∞. Erst durch eine Beschaltung erhält man ein V ≪ V₀.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der ideale Operationsverstärker

Der ideale Operationsverstärker

In der Realität gibt es eine maximale Ausgangsspannung U_a,max < +U_B und eine minimale U_a,min > -U_B (Klipping)
Dabei sind +U_B und -U_B die positive und negative Versorgungsspannung des Operationsverstärkers (Spannungsquellen).
Innerhalb [U_a,min,U_a,max] ist der Übertragsungsbereich nahezu linear, d.h. porportional zur Eingangsspannung.
Aber es gibt noch einen kleinen Versatz (Offset). Eine Offsetspannung verschiebt die Übertragungsfunktion auf der UD -Achse (gestrichelte Linie in folgender Abb.). Dieser Fehler kann leicht kompensiert werden.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der ideale Operationsverstärker

Der ideale Operationsverstärker

Rost, Wefel, 2021 Übertragungsfunktion (Kennlinie) eines fast idealen Operationsverstärkers.

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opampclip1.txt

+</p> </div></p>

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der ideale Operationsverstärker

Der ideale Operationsverstärker

Rost, Wefel, 2021 Ersatzschaltung eines Operationsverstärkers

Es gilt dann (U_G ist eine kleine Generatorspannung die den Offset produziert):

${U}_{{a}}={V}_{{D}}·{U}_{{D}}+{V}_{{G}}·{U}_{{G}}$

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der ideale Operationsverstärker

Der ideale Operationsverstärker

Bisher haben wir zeitunabhängige Spannungen und Signale betrachtet. Aber schon beom Schwingkreis gab es eine Wechselspannung mit einer bestimmten Frequenz f.

Ein Operationsverstärker kann auch Wechselspannungen verstärken. Aber hier nimmt die Leerlaufverstärkung mit der Frequenz ab!
Oder anders ausgedrückt: Das Produkt aus Verstärkung und maximaler Frequenz ist konstant.
Es gibt keine untere Grenzfrequenz und ab der sog. Eckfrequenz fällt die Verstärkung mit 20 dB/Dekade.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der ideale Operationsverstärker

Der ideale Operationsverstärker

Frequenzgang eines Operationsverstärkers (Leerlaufverstärkung)

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der reale Operationsverstärker

Der reale Operationsverstärker

Moderne integrierte Operationsverstärker kommen dem idealen Operationsverstärker in ihren Eigenschaften so nahe, dass man bei der Analyse und Synthese vieler Applikationen näherungs-weise mit den Eigenschaften des idealen Operationsverstärkers rechnen kann.

Da der OpAmp ein Differenzverstärker ist benötigt man am Eingang einen Differenzverstärker gefolgt von einem Spannungs- und Stromverstärker.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der reale Operationsverstärker

Der reale Operationsverstärker

Differenzverstärker, schematisch, mit zwei symmetrischen Transistoren

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der reale Operationsverstärker

Der reale Operationsverstärker

Der mininmale reale OpAmp: Differenzverstärker mit nachfolgenden Spannungs-Stromverstärker (drei Transistoren)

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der reale Operationsverstärker

opamp3.txt

+</p> </div></p>

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Operationsverstärker als Analogrechner

Der Operationsverstärker als Analogrechner

Der Operationsverstärker wird durch externe Schaltungsblöcke zu einem Analogrechner. Was er berechnet hängt von den Blöcken ab. Nicht alle Blöcke sind immer vorhanden, teils nur einer.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Operationsverstärker als Analogrechner

Der Operationsverstärker als Analogrechner

Wie unterscheiden fpögende Schaltungsblöcke (Subnetzwerke):

Rückkopplungsblöcke (Feedback FB-, FB+ Blöcke);
Eingangs- und Ausgangsblöcke (Input IB-, IB+, Output OB);
Terminalblöcke (Terminal TB-,TB+) die die Eingänge mit demBezugspotenzial (Masse) verbinden.

Bei der Rückkopplung unterscheiden wir:

Gegenkopplung: Vom Ausgang zum invertierenden (-) Eingäng. Die Gegenkopplung hat eine "reduzierende" Wirkung auf das Ausgangssignal, d.n. plakativ dekrementell "x:=x-1"

Vorwärts- oder Mitkopplung: Vom Ausgang zum nichtinvertierenden (+) Eingäng. Die Vorwärts- oder Mitkopplung hat eine "erhöhende" Wirkung auf das Ausgangssignal, d.n. plakativ inkrementell "x:=x+1"

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Operationsverstärker als Analogrechner

Der Operationsverstärker als Analogrechner

Die Schaltungsblöcke können folgende Bauelemente enthalten:

Widerstände
Kondensatoren (Kapazitäten)
Spulen (Induktivitäten)
Eine Kombination aus 1-3
Nichtlineare Bauelemente wie Dioden oder Transistoren
Keine Komponenten (offen)

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Lineare Grundschaltungen des Operationsverstärkers

Lineare Grundschaltungen des Operationsverstärkers

kein zeitabhängiges (zustandsbehaftetes) Verhalten
daher nur Widerstände in den Schaltungsblöcken

Der invertierende Verstärker
Der nichtinvertierende Verstärker
Der Summationsverstärker (Addierer)
Der Subtrahierer
Der Messverstärker

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der invertierende Verstärker

Der invertierende Verstärker

${U}_{{2}}=-\frac{{R}_{{2}}}{{R}_{{1}}}{U}_{{1}}$

M ist ein virtueller Massepunkt in dem die Kirchhoffsche Knotenpunktregel gilt: In ihn fließen die Ströme I₁ und I₂ hinein und der Strom I₋ heraus.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der invertierende Verstärker

Der invertierende Verstärker

Knotenpunktsatz an der virtuellen Masse M:

${I}_{{1}}+{I}_{{2}}−{I}_{−}={0}\\ {I}_{{1}}+{I}_{{2}}={I}_{{-{}}}$

Nachteil des invertierenden Verstärkers: Der Eingangswiderstand bei U₁ ist ungefähr R1.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der nichtinvertierende Verstärker

Der nichtinvertierende Verstärker

Beim nichtinvertierenden Verstärker wird der Operationsverstärker über den nichtinvertierenden Eingang angesteuert. Folglich ist das Ausgangssignal phasengleich mit dem Eingangssignal. Das Gegenkopplungssignal wird über einen Spannungsteiler am Ausgang gewonnen und dem invertierenden Eingang zugeführt.

Es gilt:

${U}_{{a}}={U}_{{e}}\frac{{{R}_{{1}}+{R}_{{2}}}}{{R}_{{2}}}\\ {V}=\frac{{R}_{{2}}}{{R}_{{1}}}+{1}$

Vorteil: höherer Eingangswiderstand als invertierender Verstärker.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der nichtinvertierende Verstärker

Der nichtinvertierende Verstärker

Der nichtinvertierende Verstärker. R0 ist optional.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Addierer

Der Addierer

Wir haben gesehen, dass in der virtuellen Masse die Ströme I₁ vom Eingang und I₂ vom Ausgang der Schaltung zusammen fließen und die Summe 0 ergibt.
Prinzipiell könnte sich I₁ (oder auch I₂) aus Teilströmen zusammensetzen.
Das nutzt man beim Umkehraddierer

${I}_{{1}}=\sum{I}_{{i}}\\ {U}_{{a}}=-{R}_{{2}}\sum\frac{{U}_{{i}}}{{R}_{{{1}{i}}}}$

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Addierer

Der Addierer

Addierer (invertierend)

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Subtrahierer

Der Subtrahierer

Da jeder Operationsverstärker über einen invertierenden und einen nichtinvertierenden Eingang verfügt, kann man einen Subtrahierer mit nur einem Operationsverstärker realisieren
Jetzt werden sowohl der invertierende als auch der nichtinvertierende EIngang verwendet

${U}_{{a}}=\frac{{R}_{{2}}}{{R}_{{1}}}{\left({U}_{{{e}{1}}}-{U}_{{{e}{2}}}\right)}$

mit R1=R3 und R2=R4.

Jedoch ist ein solcher Subtrahierer etwas asyymetrisch in seinen EIgenschaften da der invertierende und nichtimvertierende Zweig nicht symmetrisch aufgebaut sind.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Subtrahierer

Der Subtrahierer

Subtrahierer

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Instrumentenverstärker

Der Instrumentenverstärker

Hier sind die Zweige symmetrisch in ihren Eigenschaften

https://www.mikrocontroller.net/articles/Operationsverst%C3%A4rker-Grundschaltungen#Der_Instrumenten-Verst%C3%A4rker Verwendung von vorgeschalteten nichtinvertierenden Verstärkern um den niedrigen Eingangswiderstand des nachgeschalteten Subtrahieres zu kompensieren.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Der Instrumentenverstärker

Der Instrumentenverstärker

Es gilt hier:

${U}_{{a}}={\left({U}_{{{e}{2}}}-{U}_{{{e}{1}}}\right)}{\left({1}+\frac{{{2}\cdot{R}_{{1}}}}{{R}_{{2}}}\right)}$

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Analoges Rechnen

Analoges Rechnen

Wir haben vier Abstraktionsebenen für die Beschreibung von mathematischen (algebraischen) Berechnungen:

Transistor Ebene
Operationsverstärker Ebene
Analogrechner Ebene
Mathematische Ebene

Jede Abstraktionsebene hat ihre Symbolik. Nachfolgend werden die grundlegenden Abbildung mathematischer Symbole auf analoge Schaltungen gezeigt.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Multivariate Polynome 1. Grades

Multivariate Polynome 1. Grades

Mathematisch

${f{{\left({x}_{{1}},{x}_{{2}},{x}_{{3}},..\right)}}}:\vec{{x}}\to{y}\\ {y}={k}_{{1}}{x}_{{1}}+{k}_{{2}}{x}_{{2}}+{k}_{{3}}{x}_{{3}}+..$

Wir benötigen:

Addierer
Negierer (k_i < 0)
Konstantenmultiplizierer

Wesentlich wird der invertierende Verstärker als Basiszelle benötigt.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Multivariate Polynome 1. Grades

Multivariate Polynome 1. Grades

Analog

Analogrechner

Der Summierer hat hier Verstärkung 1
Es sind Inverter und Multiplizierer erforderlich

Operationsverstärker

Hier können wir Multiplikation (Gewichtung) und Summation zusammenfassen $%%ascii R_k=1/k,R=1$

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Multivariate Polynome 1. Grades

Multivariate Polynome 1. Grades

Analog

Negative Gewichtungsfaktoren benötigen Inverter. Das führt aber zu einem asymmetrischen Schaltungsaufbau und unterschiedlichen Eigenschaften in "positiven" und "negativen" Zweigen. Besser die Verwendung eines symmetrischen Aufbaus mit zwei invertierenden gewichteten Summierer und einem Subtrahierer. Ein x_i wird entweder an den oberen oder unteren Zweig angeschlossen.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Multivariate Polynome 1. Grades

Multivariate Polynome 1. Grades

THAT Analogcomputer

Symbolik

Bei "klassischen" Analogrechnern hat man häufig keine veränderlichen Gewichte. Entweder man muss einen echten Multiplizierer x × y verwenden und k wird durch eine Spannung eingestellt oder bei gradzahligen Vielfachen kann man mehrere Eingänge eines Summieres mit der gleichen Variable beschalten.

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Stefan Bosse - ADS - Modul B Der Operationsverstärker :: Zusammenfassung

Zusammenfassung

Der Operationsverstärker ist ein Differenzverstärler
Er ist die Basiszelle des analogen Rechnens
Die Beschaltung des Operationsverstärkers mit Blöcken gibt der Schaltung eine mathematische Funktion
Man kann sagen dass diese analogen Schaltung mathematische Ausdrücke und Berechnungen simulieren, und das teils sehr gut.
Die Grundschaltungen invertierender Addierer (mit Gewichtung der Eingangsvariablen), imvertierender Verstärker und Subtrahierer bilden die Schaltungsbasis für lineare Berechnungen.

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