Elektronik für Informatiker

Eine Einführung in Analoge und Digitale Systeme für Informatiker mit Elektronikgrundlagen und Signalverarbeitung

Prof. Dr. Stefan Bosse

Universität Koblenz - Praktische Informatik

1 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik ::

Grundlagen Elektronik

Schaltzeichen

2 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Elektrischer Strom und Widerstand

Elektrischer Strom und Widerstand

Unter elektrischem Strom verstehen wir:

Gerichteter Transport elektrischer Ladung durch bewegliche Ladungsträger (z.B. Elektronen) in einem Medium. Die physikalische Einheit der Stromstärke ist Ampere (A).

Ein Medium setzt dem Stromfluss einen bestimmten Widerstand entgegen. Dieser lässt sich durch den spezifischen Widerstand ρ des jeweiligen Mediums ausdrücken.

Goßner, 2011 Wertebereich des spezifischen Widerstandes von Medien

3 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Elektrische Spannung

Elektrische Spannung

Unter elektrischer Spannung verstehen wir:

Vereinfacht: Die Differenz zwischen der "Menge" von Ladungsträgern, d.h. Ladungsüberschuß gegenüber Ladungsmangel. Eine Spannung kann aus einer Anziehung resultieren: Positive und negative Ladungen oder Ladungsdofferenz mit dem Bestreben diese auszugleichen. Daher ist die Spannung eine Kraft und der "Antrieb" für den Stromfluss. Die physikalische Einheit der el. Spannung ist Volt (V).

Zusammenfassend:

Die elektrische Spannung ist die Kraft auf freie Elektronen.
Die elektrische Spannung ist die Ursache des elektrischen Stroms.
Die elektrische Spannung entsteht durch einen Ladungsunterschied.

4 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Elektrische Spannung

Elektrische Spannung

Physikalisch

Schematisch

5 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Gleichstrom, Gleichspannung, Wechselstrom, Wechselspannung

Gleichstrom, Gleichspannung, Wechselstrom, Wechselspannung

Elektrischer Strom ist das Fließen von Elektronen.
- Bewegen sich die Elektronen immer in die gleiche Richtung, so spricht man von Gleichstrom. Gleichstrom ist ein zeitlich konstanter Strom. Er wird durch eine Gleichspannung bewirkt.
- Wechseln die Elektronen regelmäßig ihre Richtung der Fortbewegung, so spricht man von Wechselstrom. Bei Wechselstrom ist der Strom eine Funktion der Zeit.
- Wechselstrom wird durch eine Wechselspannung bewirkt.

Ein Beispiel für eine Gleichspannungsquelle ist die Taschenlampenbatterie (Niedrigspannung). Die Steckdose im Haushalt stellt eine Wechselspannungsquelle dar (Hochspannung, nach VDE > 48V).

6 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Leiter und Isolatoren

Leiter und Isolatoren

Es ist eine Erfahrungstatsache, dass bestimmte Stoffe den elektrischen Strom nicht leiten und andere Materialien ihn mehr oder weniger gut leiten. Nach ihrer elektrischen Leitfähigkeit klassifiziert, unterscheiden wir:

elektrische Leiter,
Halbleiter und
Nichtleiter oder Isolatoren.

Damit ein elektrischer Strom in einem bestimmten Material fließen kann, muss dieses Material eine elektrische Leitfähigkeit besitzen. Voraussetzung für eine elektrische Leitfähigkeit ist das Vorhandensein von frei beweglichen Ladungsträgern in dem Material.

7 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerke

Schaltungsnetzwerke

Wir kennen aus der Mathematik oder Informatik Funktionen die ein Eingabe E auf eine Ausgabe A abbilden, d.h. ein Programm ist eine Funktion f(E): E → A.

Informatorische Systeme haben einen Ein- und einen Ausgang, man spricht auch vom Datenfluss.
In der Informatik unterscheiden wir zustandslose (rein funktionale) und zustandsbehaftete (speicherorientierte) Systeme.
Speicherorientierte Systeme haben einen Zustand S der auf historischen - also vergangenen - Daten beruht, und es gilt f(E,S): E × S → A × S'.

Eine Elektronikschaltung ist ein Netzwerk aus elektronischen Komponenten (ein Graph) das weder Eingänge noch Ausgänge kennt. Diese werden durch eine Anwenung zugewiesen!

8 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerke

Schaltungsnetzwerke

Ein elektronische Netzwerk (Schaltung) besteht aus:

Komponenten, die Knoten des Graphens
- Zweipole (also zwei Anschlüsse), wie Widerstände, Kondensatoren, Induktivitäten (Spulen), Dioden
- Vierpole (mit drei oder vier Anschlüssen), wie Transistoren oder Transformatoren (zwei Spulen mit gemeinsamen Kern)
Verbindungen, die Kanten, die die Knoten verbindet.
Teilnetze: Kanten, Kanten mit einem Knotenpunkt (Masche)

9 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerke

Schaltungsnetzwerke

Teilnetze sind durch eine elektrische Spannung U (relativ zu einem Bezugspunkt) und einem fliessenden eletrischen Strom I gekennzeichnet.

Eine elektronische Schaltung (Ausschnitt) mit Komponenten (Zwei- und Vierpole), Kanten und Knotenpunkte, die die Teilverbindungsnetzwerke und Maschen bilden (nummeriert 1-4).

10 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerk

Schaltungsnetzwerk

Ein elektrisches Netzwerk

ist eine modellhafte Abbildung einer elektrischen Schaltung,
die aus einfachen, idealen Netzwerkelementen besteht und
der Beschreibung und Berechnung einer realen Schaltung oder eines Schaltungsentwurfs dient.

Elektrisches Netzwerk

11 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerk

Schaltungsnetzwerk

Für lineare Netzwerke gilt:

der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bzw. zwischen den Eingangs- und den Ausgangsgrößen ist linear,
sie umfassen ausschließlich lineare Netzwerkelemente und
es gilt das Superpositionsprinzip.

Lineares Elektrisches Netzwerk

12 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Schaltungsnetzwerk

Schaltungsnetzwerk

Für nichtlineare Netzwerke gilt:

der Zusammenhang zwischen Strom und Spannung bzw. zwischen den Eingangs- und den Ausgangsgrößen ist nichtlinear,
sie beinhalten mindestens ein nichtlineares Netzwerkelement (Halbleiter).

Nichtlineares Elektrisches Netzwerk

13 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Widerstände

Widerstände

Festwiderstände

Festwiderstände kommen in elektrischen Schaltungen sehr häufig vor, sie bestimmen (begrenzen) Strom- und Spannungswerte und dienen dazu, den Arbeitspunkt eines Transistors oder der ganzen Schaltung zu bestimmen.

Einstellbare Widerstände

Neben den Festwiderständen gibt es noch die einstellbaren Widerstände. Sie werden auch Potentiometer oder Trimmpoti genannt. Der Nennwert (Ω) ist fast immer in Zahlen aufgedruckt und ist der maximale Wert, der eingestellt werden kann.

14 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Widerstände

Widerstände

Lichtabhängige Widerstände

Fotowiderstände (LDR), sind Halbleiterbauelemente (siehe auch Halbleiter), deren Widerstand bei Lichteinfall abnimmt (Widerstand wird kleiner). Sie arbeiten stromrichtungsunabhängig und können sowohl für Gleichspannung als auch für Wechselspannung eingesetzt werden.

Temperaturabhängige Widerstände

Der Temperaturabhängige Widerstand verändert seinen Widerstand in Abhängigkeit von der Temperatur. Er kann als Kaltleiter (PTC = positiver Temperatur-Coeffizient) oder Heißleiter (NTC = negativer Temperatur-Coeffizient) ausgelegt sein. Beispielsweise sind die meisten Metalle Kaltleiter.

15 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Widerstandsnetzwerke

Widerstandsnetzwerke

Reihenschaltung

Parallelschaltung

16 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Widerstandsnetzwerke

Widerstandsnetzwerke

Der Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung von Widerständen.

Wird der Spannungsteiler durch einen zusätzlichen Widerstand (Verbraucher) parallel belastet, so sind die Werte der Schaltung wie bei einer gemischten Schaltung zu berechnen.
Der unbelastete Spannungsteiler ist eine Reihenschaltung von Widerständen.
Der belastete Spannungsteiler ist eine gemischte Schaltung von Widerständen.

${U}={U}_{{1}}+{U}_{{2}}\\ {U}_{{2}}={U}\frac{{R}_{{2}}}{{{R}_{{1}}+{R}_{{2}}}}$

17 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Spannungs- und Strommessung

Spannungs- und Strommessung

Spannungsmesser

Ein Spannungsmessgerät hat immer einen Parallelwiderstand der die Messung verfälscht.

Strommesser

Ein Strommesser hat immer einen von Null verschiedenen (kleinen) Serienwiderstand.

18 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Spannungs- und Strommessung

Spannungs- und Strommessung

Bei gleichzeitiger Verwendung von Spannungs- und Strommeßinstrumenten kann durch den entsprechenden Anschluß der Meßfehler eingegrenzt werden.

Basiswissen Elektronik, Conrad El.

19 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz

Das Ohmsche Gesetz: Der lineare Zusammenhang zwischen der Spannung U und dem fließenden Strom I in einem Stromkreis wird folgendermaßen dargestellt:

${U}={R}{I}$

Diese Gleichung ist das Ohmsche Gesetz 1 . Die Proportionalitätskonstante R heißt ohmscher Widerstand (Einheit Ohm).

Der Widerstand R eines homogenen elektrischen Leiters mit konstantem Querschnitt A und der Länge l, z.B. eines Drahtes, lässt sich aus der Geometrie des Leiters und einer Materialgröße ρ (spezifischer Widerstand) wie folgt berechnen:

${R}=\rho\frac{{l}}{{A}}$

20 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Regeln

Reale Stromkreise oder Schaltungen umfassen in der Regel eine Vielzahl von Widerständen, Spannungsquellen und anderen Bauelementen; man spricht dann von elektrischen Netzen oder Netzwerken.

Zu deren Behandlung reicht das Ohmsche Gesetz keines-wegs aus. Unser nächstes Ziel ist deshalb, Hilfsmittel bereitzustellen, um solche Stromkreise zu analysieren. Die Kirchhoffschen Regeln 1 erlauben in Verbindung mit dem Ohmschen Gesetz solche Analysen und Berechnungen.

1. Kirchhoffsche Regel (Knotenregel)

An einem Verzweigungspunkt oder Knoten entsprechend der Abb. fließen Ströme aus mehreren Zweigen zu und in verschiedene andere Zweige ab. Wir versehen zufließende Ströme I zu mit einem positiven und abfließende Ströme I ab mit einem negativen Vorzeichen und können dann den Knotensatz formulieren.

21 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Regeln

Verzweigungspunkt oder Knoten

22 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Regeln

In einem Verzweigungspunkt (Knoten) ist die Summe aller dem Knoten zufließenden Ströme gleich der Summe aller vom Knoten abfließenden Ströme.
Eine gleichwertige, andere Formulierung lautet: In einem Verzweigungspunkt (Knoten) ist die Summe aller Ströme Null. Diese Aussage kann man als Gleichung folgendermaßen formulieren:

$\sum{I}_{{{z}{u}}}=\sum{I}_{{{a}{b}}}\\ \sum{I}={0}$

Der physikalische Hintergrund dieses Satzes ist die Erhaltung der elektrischen Ladung.

23 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Regeln

2. Kirchhoffsche Regel (Maschensatz)

Der Maschensatz gilt für geschlossene Strompfade (Maschen) mit beliebig vielen Widerständen und Spannungsquellen. Die Abb. zeigt einen geschlossenen Strompfad mit willkürlich eingetragenem Umlaufsinn.

Netzmasche in einem Stromkreis

24 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Kirchhoffsche Regeln

Kirchhoffsche Regeln

Spannungen und Ströme, deren Richtungspfeile in Richtung des Umlaufsinnes weisen, werden positiv gezählt; alle anderen negativ. Der Spannungsabfall, also die Teilspannung, über jeden Widerstand wird mit Hilfe des Ohmschen Gesetzes aus dem Strom ermittelt, der durch den Widerstand fließt, wobei sich das Vorzeichen des Spannungsabfalls aus dem Vorzeichen des Stromes ergibt.

In einem geschlossenen Strompfad ist die Summe aller Spannungsabfälle (R_n · I_n) gleich der Summe aller Quellenspannungen U_m (Leerlaufspannungen).
Eine gleichwertige, andere Formulierung lautet: Die Summe aller Teilspannungen in einer Netzmasche ist Null. Als Gleichung schreibt man:

$\sum_{{m}}{U}_{{m}}+\sum_{{n}}{\left({R}_{{n}}{I}_{{n}}\right)}={0}$

25 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Der Dehnungsmesswiderstand

Bisher hatten Widerstände einen festen (ggfs. einstellbaren) Widerstandswert. Der Widerstandswert (die Leitfähigkeit) hängt aber von physikalischen Umgebungsgrößen ab: Temperatur, Dehnung, evtl. Feuchtigkeit.

Ein Dehnungsmessstreifen wird auf Oberflächen aufgebracht um die Dehnung in eine Widerstandsänderung umzusetzen.

26 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Der Dehnungsmesswiderstand

Die Temperaturabhängigkeit wird durch einen Temperaturkoeefizienten bestimmt der die Änderung der Leitfähigkeit in Abhängikeit einer Temperaturädnerung angibt.
Gleiches gilt für eine Dehnung mit einem Dehnungskoeffizienten.
p(T) = Widerstand als Funktion der Temperatur
p(T₀) = bekannter Widerstand bei Bezugstemperatur (meist 293,15 K = 20° C)
α = Temperaturkoeffizient
(T – T₀) = Differenz zwischen der zu betrachtenden Temperatur und der Bezugstemperatur

Dann kann der Temperaturkoeffizient wie folgt berechnet werden:

${p}{\left({T}\right)}={p}{\left({T}₀\right)}\cdot{\left[{1}+α\cdot{\left({T}–{T}₀\right)}\right]}$

Die Änderung kann im % Bereich liegen (z.B. bei Silber).

27 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Der Dehnungsmesswiderstand

Bei der Dehnung gilt ähnliches, jedoch liegt die Widerstandänderung häufig nur im ‰ Bereich. d.h., z.B 1 ‰ Dehnung entspricht 2 ‰ Widerstandsänderung, oder 1000 µm/m Dehnung entsprechen 2 ‰ Widerstandsänderung, oder 1000 · 10^-6 Dehnung entsprechen 2000 · 10^-6 Widerstandsänderung.

Wir erhalten:

$\frac{{\Delta{R}}}{{R}}={k}·ε$

Der Zusammenhang zwischen Widerstandsänderung ΔR/R und Dehnung ε wird durch den k-Faktor des Dehnungsmessstreifens beschrieben.

Die Dehnung eines elektrischen Leiters hat auch eine Querschnittsveränderung des elektrischen Leiters zur Folge. Die Querschnittsveränderung des elektrischen Leiters ist wiederum mit einer Änderung des elektrischen Widerstands verbunden.

28 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Der Dehnungsmesswiderstand

Wie können wir eine Dehnung über eine Widerstandsänderung messen? ΔR ist sehr klein!

Der Spannungsteiler

R1 ist hier der veränderliche Widerstand (Sensor), und R2 ist ein Bezugswiderstand.

Die Spannung U2 wird sich mit R1 ändern, ist aber auch bei R1=R2 nicht Null sondern U/2:

${U}_{{2}}={U}\frac{{R}_{{2}}}{{{R}_{{1}}+{R}_{{2}}}}\\ \Delta{U}_{{2}}={U}{\left(\frac{{R}_{{2}}}{{{R}_{{1}}+{R}_{{2}}}}-\frac{{R}_{{2}}}{{{\left({R}_{{1}}+\Delta{R}_{{1}}\right)}+{R}_{{2}}}}\right)}$

29 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Die Messbrücke

Die Messbrücke mit zwei Spannungsteilern: R1 ist hier der veränderliche Widerstand, d.h. der Sensor.

Die zwei Anschlüsse Us+ und Us- dienen der Speisung der Brückenschaltung.
Die Brückenschaltung ist abgeglichen (die Spannung zwischen Ud+ und Ud- ist 0 V), wenn die folgende Bedingung erfüllt ist: R1/R2 = R4/R3.
Es gilt i.A. R1=R2=R3=R4=R, mit Bezug R1=R0=R wenn keine Dehnung vorliegt.

${U}_{{d}}={U}_{{{d}+}}-{U}_{{{d}-}}\\ \frac{{U}_{{d}}}{{U}_{{s}}}=\frac{{R}_{{1}}}{{{R}_{{1}}+{R}_{{2}}}}-\frac{{R}_{{4}}}{{{R}_{{3}}+{R}_{{4}}}}$

30 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

+</p>

31 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Die Messbrücke und der Operationsverstärker

Die Messbrücke liefert uns eine zum Sensorwiderstand proportionale Spannung als Differenzspannung zwischen zwei Punkten und ist daher Null wenn der Sensor sich im "Ausgangszustand" befindet (R₀).

Aber die Differenzspannung ist noch nicht auf ein Bezugspotenzial (Masse, "unten") bezogen, sondern bezieht sich auf zwei "freie" Punkte in der Schaltung (die Mitte der beiden Spannungsteiler).
Relativ zum Bezugspotenzial haben wir eigentlich zwei Spannungen.
Das ändern wir durch Anwendung eines Differenzverstärkers, der eine Differenzspannung zwischen zwei beliebigen Punkten der Schaltung in eine Spannung mit Bezugpotenzial (Masse) umsetzt: Der Operationsverstärker)

32 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

Die Messbrücke und der Operationsverstärker

Die Verwendung des Operationsverstärkers als Differenzversträkers lifert uns nun die gewünschte Umsetzung des Sensorwiderstands in eine um den nullpunkt lineare Messspannung.

33 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Dehnungsmesswiderstand

+</p>

34 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Erweiterung von Messbereichen

Erweiterung von Messbereichen

Schaltungen zur Messbereichserweiterung: (Links) Erweiterung des Spannungsbereiches durch R_V (Rechts) Erweiterung des Strombereiches durch R_P

35 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Kapazität und die Induktivität

Die Kapazität und die Induktivität

Das Verhalten des (idealen) elektrischen Widerstands ist nicht zeitabhängig.
Das Verhalen eines Kondensators (Kapazität) und einer Induktivität (Spule) ist zeitabhängig.

36 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Kapazität und die Induktivität

Die Kapazität und die Induktivität

Kapazizät

Die Kapazität

${C}=\frac{{Q}}{{U}_{{C}}}$

beschreibt die Fähigkeit einer Leiteranordnung, elektrische Ladung Q zu speichern.

Kondensatoren sind Bauelemente mit einer bestimmten Kapazität C, also mit der Fähigkeit, elektrische Ladung zu speichern. Sie bestehen aus zwei gegeneinander elektrisch isolierten flächenhaften Leitern.

Induktivität

Wenn durch eine Spule ein Strom fließt, existiert in dieser Spule und in deren Umgebung ein Magnetfeld. Dieses Magnetfeld beinhaltet die Energie, die zum Aufbau des Feldes notwendig war; sie wird wieder frei gesetzt, sobald der Strom unterbrochen wird und das Feld zusammenbricht.

${U}_{{L}}={L}\frac{{{d}{I}_{{L}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}$

37 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Der Kondensator

Laden eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Ein Kondensator C über einen Widerstand R und einen Schalter S mit einer Spannungsquelle verbunden. Der Kondensator sei zu Beginn des Experiments ungeladen, folglich ist die Spannung U_C am Kondensator zunächst Null. Nach dem Schließen des Schalters fließt Ladung von der Spannungsquelle auf den Kondensator und die Spannung am Kondensator steigt an; sie wird eine Funktion der Zeit U_C(t):

${U}_{{0}}={U}_{{R}}{\left({t}\right)}+{U}_{{C}}{\left({t}\right)}\\ {I}{\left({t}\right)}=\frac{{{U}_{{0}}−{U}_{{C}}{\left({t}\right)}}}{{R}}\\ {U}_{{C}}{\left({t}\right)}={U}_{{0}}{\left({1}−{e}^{{−{R}·{C}}}\right)}$

(Durch Anwendung der Kirchhoffschen Regeln und des Ohmschen Gesetzes)

38 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Laden eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Rost, Wefel, 2021 Ladung eines Kondensators über einen Widerstand, Schaltung und Ladekurve

39 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Entladen eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Der geladene Kondensator wird wieder entladen, indem ein Stromkreis zwischen seinen beiden Anschlüssen über den Widerstand R und den Schalter S geschlossen wird. Dabei kehrt sich die Stromrichtung um und die Ladung fließt vom Kondensator ab. Der Kondensator verliert die vorher gespeicherte Energie wieder und die Spannung U_C fällt:

${I}{\left({t}\right)}=\frac{{{d}{Q}_{{C}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}={C}\frac{{{d}{U}_{{C}}}}{{\left.{d}{t}\right.}}\\ {I}{\left({t}\right)}=-\frac{{U}_{{C}}}{{R}}\\ {U}_{{C}}{\left({t}\right)}={U}_{{{C}{0}}}·{e}^{{\frac{{t}}{{−{R}·{C}}}}}$

Der Term RC hat die Dimension einer Zeit und heißt Zeitkonstante τ.

40 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Entladen eines Kondensators – dynamisches Verhalten

Rost, Wefel, 2021 Entladung eines Kondensators über einen Widerstand, Schaltung und Entladekurve

41 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Technische Kondensatoren

Rost, Wefel, 2021 Technische Kondensatoren in verschiedenen Bauformen

42 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Kapazität eines Kondensators

Kapazität eines Plattenkondensators ist abhängig von:

Der physikalischen Eigenschaften (ε) der Materialien
Die Fläche A der Platten
Der Abstand der d Platten

${C}=\epsilon_{{0}}\epsilon_{{r}}\frac{{A}}{{d}}$

43 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Zusammenschaltung von Kondensatoren

Rost, Wefel, 2021 Zusammenschaltung von Kapazitäten: (Links) Reihenschaltung (Rechts) Parallelschaltung

44 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Kondensator

Zusammenschaltung von Kondensatoren

Reihenschaltung Gesamtkapazität bei Reihenschaltung von n Kapazitäten:

$\frac{{1}}{{C}_{{\text{ges}}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}\frac{{1}}{{C}_{{i}}}$

Parallelschaltung

Gesamtkapazität bei Parallelschaltung von n Kapazitäten:

${C}_{{\text{ges}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{C}_{{i}}$

45 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Induktivität

Die Induktivität

Wenn durch eine Spule ein Strom fließt, existiert in dieser Spule und in deren Umgebung ein Magnetfeld.
Dieses Magnetfeld beinhaltet die Energie, die zum Aufbau des Feldes notwendig war; sie wird wieder frei gesetzt, sobald der Strom unterbrochen wird und das Feld zusammenbricht.
Wenn eine Spule mit der Induktivität L von einem zeitlich veränderlichem Strom dI/dt durchflossen wird, gilt für den Spannungsabfall an der Spule:

${U}_{{L}}={L}\frac{{{d}{I}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}$

46 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Induktivität

Entladen und Entladen einer Spule – dynamisches Verhalten

Zu- und Abschaltung einer Induktivität

47 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Induktivität

Entladen und Entladen einer Spule – dynamisches Verhalten

Es gilt nach den Kirchhoffschen Regeln und dem Ohmschen Gesetz:

${U}_{{0}}+{U}_{{L}}={R}{I}\\ {U}_{{0}}−{L}\frac{{{d}{I}}}{{{\left.{d}{t}\right.}}}={R}{I}\\ {I}{\left({t}\right)}=\frac{{U}_{{0}}}{{R}}{\left({1}-{e}^{{−\frac{{R}}{{L}}{t}}}\right)}\\ {I}{\left({t}\right)}={I}_{{0}}{e}^{{−\frac{{R}}{{L}}{t}}}$

Der Strom kann maximal den Wert I₀=U₀/R annehmen.
Der Term R/L hat die Dimension einer Zeit und heißt Zeitkonstante τ.

48 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Induktivität

Zusammenschaltung von Induktivitäten

49 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Die Induktivität

Zusammenschaltung von Induktivitäten

${L}_{{\text{ges}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}{L}_{{i}}$

$\frac{{1}}{{L}_{{\text{ges}}}}={\sum_{{{i}={1}}}^{{n}}}\frac{{1}}{{L}_{{i}}}$

50 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Bauelemente oim Wechselstromkreis

Bauelemente oim Wechselstromkreis

Bisher haben wir Gleichspannungen oder nur langsam veränderliche Spannungen als Stimulus betrachtet. Bei einer Wechselspannung verhalten sich die Bauteile sehr unterschiedlich.

Bei einer Gleichspannung muss nur der messabre "reale" Anteil betrachtet werden.
Bei einer Wechselspannung müssen wir auch den nicht emssabren "imaginären" Anteil von Spannung und Strom betrachten.
Spannung und Ströme sind also komplexe Größen, keine reelen!
Statt des reelen ohmschen Widerstands R wird nun die abstrakte nicht direkt messbare (komplexe) Impedanz Z betrachtet.

51 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Bauelemente im Wechselstromkreis

Bauelemente im Wechselstromkreis

Bauteile im Wechselstromkreis. (Oben) ohmscher Widerstand, Strom und Spannung sind phasengleich, (Mitte) Kapazität, der Strom eilt der Spannung um 90° voraus, (Unten) Induktivität, der Strom eilt der Spannung um 90° nach

52 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Bauelemente im Wechselstromkreis

Bauelemente im Wechselstromkreis

Jetzt wird es komplex ... Komplexe Zahl: Re + i Im.

Kondensator

$\hat{{Z}}_{{C}}=\frac{\hat{{U}}}{\hat{{I}}}=\frac{{1}}{{{i}\omega{C}}}=-\frac{{i}}{{\omega{C}}}$

Spule

$\hat{{Z}}_{{C}}=\frac{\hat{{U}}}{\hat{{I}}}={i}\omega{L}$

53 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Bauelemente im Wechselstromkreis

+</p>

54 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Ersatzschaltbilder von realen Bauteilen

Ersatzschaltbilder von realen Bauteilen

Bisher haben wir nur "theoretische" Bauteile betrachtet, d.h.. ein Widerstand ist nur ein ohmscher Widerstand, ein Kondensator nur eine Kapazität, eine Spule nur eine Induktivität.
Jeder Draht, jede Zuleitung, jede Leiterbahn ist eine Induktivität
Zwei Drähte nebeneinander bilden eine Kapazität
In der Realität bestehen also Bauteile aus verschiedenen Anteilen von ohmschen Widerständen, Kapazitäten, und Induktivität.
Man bildet reale Bauteile mit kombinierten Ersatzschaltbildern (oder Netzlisten) ab.

55 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Ersatzschaltbilder von realen Bauteilen

Ersatzschaltbilder von realen Bauteilen

Realer Widerstand

Realer Kondensator

Reale Spule

56 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Schwingkreis

Der Schwingkreis

Bei den Ersatzschaltbildern für reale Bauteile haben wir gesehen dass es neben der Hauptkomponente auch Nebenkomponenten gibt ("Parasiten"), die einfach physikalisch bedingt vorhanden sind (aber nicht dazugebaut werden!).

Es handelt sich immer um R-L-C Kombinationen.
Die Reihenschaltung von RLC bezeichnet man als einen Reihenschwingkreis.
Die Parallelschaltung von RLC bezeichnet man als einen Parallelschwingkreis.

Es schwingt etwas! Eine Schwingung hat eine Frequenz f (oder setzt sich aus einer Überlagerung verschiedener Frequenzen zusammen). Die Einheit einer Frequenz ist Herz (Hz) oder 1/s. D.h. die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde.

57 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Schwingkreis

Der Schwingkreis

Ross, 2021 Harmonische Wechselspannung u(t) als Zeitfunktion mit Periodendauer (T), Phase φ und Amplitute U

58 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Schwingkreis

Der Schwingkreis

Ross, 2021 Reihenschwingkreis: Schaltung, ungedämpfte und gedämpfte Schwingung. (Links) Schaltbild (Mitte) Ungedämpfte Schwinung (R=0) (Rechts) Gedämpfte Schwingung (R ≠ 0)

59 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Schwingkreis

Der Schwingkreis

Die Schwingungsfrequenz f₀ (0 weil freier Schwingkreis) lässt sich dann berechnen durch:

${{f}_{{0}}=}\frac{{1}}{{{2}\pi}}\sqrt{{\frac{{1}}{{{L}{C}}}-{\left(\frac{{R}_{{V}}}{{{2}{L}}}\right)}^{{2}}}}$

D.h.:

Je größer die Kapazität (Farad F) und/oder die Induktivität (Henry H) desto kleiner ist die Schwingungsfrequenz (Schwingung dauer länger da mehr Ladung "gespeichert" wird)
Der "Verlustwiderstand" (physikalisch bedingt oder eingefügt) dämpft nicht nur die Schwingung (Amplitude nimmt ab), sondern verändert auch die Schwingungsfrequenz!

60 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Der Schwingkreis

+</p>

61 / 62

Stefan Bosse - ADS - Modul A Grundlagen Elektronik :: Zusammenfassung

Zusammenfassung

Wir haben drei grundlegende passive Bauteile in Elektronikschaltungen: Widerstände, Kapazitäten (Kondernsator) und Induktivitäten (Spule).
Die Bauteile lassen sich in Netzlisten (Grapen) zusammenschalten
Es gibt Spannungen zwischen Punkten in der Netzliste und Ströme in den Kanten des Graphens.
Das Ohmsche Gestz und die zwei Kirchhoffschen Regeln sind elementar für die Berechnung von elktronischen Schaltungen.
Das Ohmsche Gestz und die zwei Kirchhoffschen Regeln sind Grundlage für die Simulation von Elektronikschaltungen (Lösen von lineare Gleichungssystemen).

62 / 62